Question

15．动直线l：（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0过定点P，则点P的坐标为（0，-6）若直线l与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{y≥0}\\{2x+y≤2}\end{array}\right.$表示的平面区域有公共点，则实数λ的取值范围是1＜λ≤$\frac{7}{3}$．

Answer 1

分析 利用分离参数法，解方程组即可求出定点坐标，作出不等式组对应的平面区域利用线性规划的知识进行求解即可．

解答 解：由（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0得：λ（3x-y-6）+（x+y+6）=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{3x-y-6=0}\\{x+y+6=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-6}\end{array}\right.$，即直线恒过定点P（0，-6）．
作出不等式组对应的平面区域如图：
当1-λ=0时，λ=1，此时直线方程为x=0，满足直线和平面区域有公共点，
当λ≠1时，直线方程为y=$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$
则满足直线的斜率k＞0，且点A（1，0）在直线的下方或在直线上，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0且y≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$x+$\frac{6-6λ}{λ-1}$，
即$\frac{3λ+1}{λ-1}$＞0①且0≤$\frac{3λ+1}{λ-1}$×1+$\frac{6-6λ}{λ-1}$=$\frac{7-3λ}{λ-1}$，②
即由①得λ＞1或λ＜$-\frac{1}{3}$，
由②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
由①②得1≤λ≤$\frac{7}{3}$，
故答案为：（0，-6）；1≤λ≤$\frac{7}{3}$．

点评 本题主要考查直线过定点以及线性规划的应用，建立方程组关系以及利用数形结合是解决本题的关键．