Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在区间（-∞，0]和[6，8]上单调递增，在[0，2]上单调递减，其图象与x轴交于A，B，C三点，其中点B的坐标为（2，0）．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求b的取值范围；
（Ⅲ）求|AC|的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知得：f'（x）=3x²+2bx+c，由f'（0）=0得：c=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x³+bx²+d，由f（2）=0得f'（x）=3x²+2bx，解出即可；
（Ⅲ）设A（x₁，0），C（x₂，0），则f（x）=（x-2）（x-x₁）（x-x₂），表示出|AC|，求出即可．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得：f'（x）=3x²+2bx+c，
由f'（0）=0得：c=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=x³+bx²+d
由f（2）=0得：8+4b+d=0，
∴f（x）=x³+bx²-4b-8，f'（x）=3x²+2bx
令f'（x）=0得：x=0或x=-

2

3

b
由已知得：2≤-

2

3

b≤6，
∴-9≤b≤-3
所以，所求的b的取值范围是：[-9，-3]；
（Ⅲ）设A（x₁，0），C（x₂，0），
则f（x）=（x-2）（x-x₁）（x-x₂）
=（x-2）[x²-x（x₁+x₂）+x₁x₂]
=x3-(x1+x2+2)x2+[x1x2+2(x1+x2)]x-2x1x2
又f（x）=x³+bx²-4b-8，
∴

-(x1+x2+2)=b -2x1x2=-4b-8

，
∴

x1+x2=-b-2 x1x2=2b+4

；
∴|AC|=|x1-x2|=

(x1-x2)2

=

(x1+x2)2-4x1x2

=

b2-4b-12

=

(b-2)2-16

，
∵-9≤b≤-3，∴3≤|AC|≤

105

所以，|AC|的取值范围是[3，

105

]．

点评：本题主要考查三次函数的图象与性质和导数的应用，考查数形结合思想方法和运算求解能力．