Question

【题目】已知函数（a，）.

（1）若，且在内有且只有一个零点，求a的值；

（2）若，且有三个不同零点，问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；

（3）若，，试讨论是否存在，使得.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；a的值为（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1），，讨论和两种情况，分别计算函数的单调性，再根据零点个数得到参数.

（2），根据题意，计算得到，，计算得到答案.

（3），，故必须在上有解，解方程得到答案.

（1）若，则，，

若，则在，则，则在上单调递增，

又，故在上无零点，舍；

若，令，得，，，

在上，，在上单调递减，

在上，，在上单调递增，

故，

若，则，在上无零点，舍；

若，则，在上恰有一零点，此时；

若，则，，，

则在和上有各有一个零点，舍；

故a的值为.

（2）因为，则，若有三个不同零点，且成等差数列，可设，

故，则，故，，.

此时，，，故存在三个不同的零点.

故符合题意的a的值为.

（3）若，，，

∴若存在，使得，

必须在上有解.

，

方程的两根为：，，

只能是，

依题意，即，

即，

又由，得，故欲使满足题意的存在，则，

∴当时，存在唯一的满足，

当时，不存在使.