Question

观察下列等式
1²=1
1²-2²=-3
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10
…
照此规律，第n个等式可为1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：等式的左边是正整数的平方和或差，根据这一规律得第n个等式左边为1²-2²+3²-4²+…（-1）^n-1n²．再分n为奇数和偶数讨论，结合分组求和法求和，最后利用字母表示即可．

解答： 解：观察下列等式：
1²=1
1²-2²=-3
1²-2²+3²=6
1²-2²+3²-4²=-10
…
分n为奇数和偶数讨论：
第n个等式左边为1²-2²+3²-4²+…（-1）^n-1n²．
当n为偶数时，分组求和（1²-2²）+（3²-4²）+…+[（n-1）²-n²]=-

n(n+1)

2

，
当n为奇数时，第n个等式左边=（1²-2²）+（3²-4²）+…+[（n-2）²-（n-1）²]+n²=-

n(n-1)

2

+n²=

n(n+1)

2

．
综上，第n个等式为1²-2²+3²-4²+…+（-1）ⁿ⁺¹n²=(-1)n+1•

n(n+1)

2

，
故答案为：(-1)n+1•

n(n+1)

2

点评：本题考查规律型中的数字变化问题，找等式的规律时，既要分别看左右两边的规律，还要注意看左右两边之间的联系．