Question

已知函数f（x）=|

1

|x|

-1|，若关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6个不同的实数解，则b，c的取值情况可能的是：

 

．
①-1＜b＜0，c=0           
②1+b+c＜0，c＞0
③1+b+c＞0，c＞0
④1+b+c=0，0＜c＜1．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：由题意，令g（u）=u²+bu+c，通过条件判断函数的零点所在的位置，从而说明方程的根的个数．

解答： 解：若①-1＜b＜0，c=0，
则由f²（x）+bf（x）+c=0得：
f（x）=-b或f（x）=0，
则|

1

|x|

-1|=-b或|

1

|x|

-1|=0，
即

1

|x|

=1-b或

1

|x|

=1+b或

1

|x|

=1共6个不同的实数解，成立；
若③1+b+c＞0，c＞0，
则令g（u）=u²+bu+c，则g（0）＞0，g（1）＞0，
则g（u）=u²+bu+c的零点都在0的左侧或都在（0，1）之间或都在1的右侧，
当都在0的左侧时，方程f²（x）+bf（x）+c=0无解，
当都在（0，1）之间时，方程f²（x）+bf（x）+c=0有4解或8解，
当都在1的右侧时，方程f²（x）+bf（x）+c=0有2个或4个解．
故不成立；
若②1+b+c＜0，c＞0，
同③，g（u）=u²+bu+c的零点在（0，1）之间有一个，另一个在0的左侧或在1的右侧，
当在1的右侧时，方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6个不同的实数解，成立；
若④1+b+c=0，0＜c＜1，
u²+bu+c=0有一个根为1，另一个根可能在（0，1）之间，
则方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有6个不同的实数解，成立；
故答案为：①②④．

点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，属于基础题．