Question

关于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0的解集为A，若集合B同时满足：①A∩Z=B（其中Z为整数集）②B中的元素个数有限且为最少．则实数k=

 

．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法

专题：分类讨论,不等式的解法及应用

分析：根据题意，对k值进行讨论，求出对应的集合A，再分析B中元素的个数，从而得出元素最少的情况是什么．

解答： 解：当k=0时，A=（-∞，4）；
当k＞0且k≠2时，∵4＜k+

4

k

，∴A=（-∞，4）∪（k+

4

k

，+∞）；
当k=2时，A=（-∞，4）∪（4，+∞）；
当k＜0时，∵k+

4

k

＜4，∴A=（k+

4

k

，4）；
∴k≥0时，集合B中的元素有无限个；
k＜0时，集合B中的元素是有限的，此时B为有限集；
∵k+

4

k

≤-4，当且仅当k=-2时取等号，
∴当k=-2时，集合B的元素个数最少．
故答案为：-2．

点评：本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，其中对k值的讨论是解答本题的关键，是中档题．