Question

已知f（x）=x³+ax²+bx+c，在x=1与x=-2时，都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若x∈[-3，2]都有f（x）＞

4

c

-

1

2

，（c＞0）恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（2）求出函数的最小值为f（1），要使不等式恒成立，既要证f（1）＞

4

c

-

1

2

，即可求出c的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：

f′(1)=0 f′(-2)=0

即

3+2a+b=0 12-4a+b=0

，
解得

a= 3 2 b=-6

；
（2）由（Ⅰ）知，f′（x）=3x²+3x-6，
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1；
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
∴（x）的减区间为（-2，1）；增区间为（-∞，-2），（1，+∞）．
∴x∈[-3，2]时，
∴当x=1时，f（x）取得最小值-

7

2

+c，
∴f（x）_min=-

7

2

+c＞

4

c

-

1

2

，
解得c＞4．

点评：考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，以及掌握不等式的证明方法．