Question

已知函数f（x）=ax²e^x，其中a≠0．
（Ⅰ）求f（x）的导函数f'（x）；（Ⅱ）求f（x）的极大值．

Answer 1

解：（I）f′（x）=axe^x（x+2），
（II）由（I）知：f′（x）=axe^x（x+2），
（i）当a＞0时，
当f′（x）＞0时，得x＞0或x＜-2；
当f′（x）＜0时，得-2＜x＜0；
∴f（x）的单调递减区间为（-2，0）；
f（x）的单调递增区间为（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故当x=-2时，f（x）有极大值，其极大值为f（-2）=4ae^-2．（6分）
（ii）当a＜0时，
当f′（x）＜0时，得x＞0或x＜-2；
当f′（x）＞0时，得-2＜x＜0；
∴f（x）的单调递增区间为（-2，0）；
f（x）的单调递减区间为（-∞，-2）和（0，+∞）．（5分）
故当x=0时，f（x）有极大值，其极大值为f（0）=0．（6分）
分析：（I）利用乘积的导数的计算法则求导即得；
（II）先求f′（x）=0的值，发现需要讨论a的正负，分别判定在f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极大值点与极小值点，求出极值．
点评：本题综合考查了导数的运算、利用导数研究函数的极值及二次函数在闭区间上的最值问题，考查分类讨论的思想在解题中的应用．