Question

设P（t，t²）是抛物线y=x²（0＜x＜1）上的一个动点，过P作抛物线的切线与x轴及直线x=1相交于A、B如图所示，若△PAC，△PBC的面积分别为g（t）和h（t）．
（1）求g（t）、h（t）；
（2）记号max（a₁，a₂，…a_n）表示数a₁，a₂，…a_n中最大的那个数．设f（t）=max（g（t），h（t））试求f（t）的极大值与极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数的最值及其几何意义,数列与函数的综合

专题：计算题,导数的综合应用,直线与圆

分析：（1）求出函数的导数，求得切线的斜率，切线方程，再求A，B的坐标，以及三角形PAC，PBC的面积，即可得到g（t），h（t）；
（2）对g（t），h（t）作差，讨论，即可得到f（t），再求导数，求单调区间，进而得到极值．

解答： 解：（1）由于y=x²（0＜x＜1）的导数y′=2x，
过点P（t，t²）的抛物线的切线PA的斜率为2t，
于是其方程为y-t²=2t（x-t）       
令x=1，得y=2t-t²令y=0则x=

t

2

，
则A（

t

2

，0），B（1，2t-t²），
所以△PAC与△PBC的面积为：
S_△PAC=

1

2

AC•EP=

1

2

(1-

t

2

)•t2，
S_△PBC=

1

2

CB•EC=

1

2

(2t-t2)（1-t），0＜t＜1，
则g（t）=-

1

4

t³+

1

2

t²，h（t）=

1

2

t³-

3

2

t²+t，0＜t＜1，
（2）由g（t）-h（t）=

1

4

t²（2-t）-

1

2

t（1-t）（2-t）
=

1

4

t（2-t）[t-2（1-t）]=

1

4

t（2-t）（3t-2），0＜t＜1
故当0＜t＜

2

3

时，g（t）＜h（t）因此f（t）=h（t），
当

2

3

≤t≤1时，h（t）≤g（t），因此f（t）=g（t），
即f（t）=

1 2 t3- 3 2 t2+t，0＜t＜ 2 3 - 1 4 t3+ 1 2 t2， 2 3 ≤t＜1

，
于是，当0＜t＜

2

3

时，由f′（t）=

1

2

（3t²-6t+2）=0，
解得t=1-

3

3

，可知此乃f（t）的极大值点，
所以极大值是f（1-

3

3

）=

3

9

，无极小值．
当

2

3

≤t＜1时，由f′（t）=

1

4

（4t-3t²）=t（1-

3

4

t）＞0恒成立，
可知f（t）是单调增加的，因此它的极小值是f（

2

3

）=

4

27

，无极大值．
综上，当t=1-

3

3

时f（t）取极大值

3

9

，当t=

2

3

时f（t）取极小值

4

27

．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程，求单调区间和求极值，考查三角形的面积公式，考查运算能力，属于中档题．