Question

4．设sinα，cosα是方程5x²+7x+m-1=0的两个实根．
（I）求实数m的值；
（Ⅱ）求（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由韦达定理得sinα+cosα=-$\frac{7}{5}$，sinαcosα=$\frac{m-1}{5}$，由此利用同角三角函数关系式能求出实数m的值．
（Ⅱ）由同角三角函数关系式得（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα=cos³α+sin³α，由此能求出结果．

解答 解：（Ⅰ）∵sinα，cosα是方程5x²+7x+m-1=0的两个实根，
∴sinα+cosα=-$\frac{7}{5}$，sinαcosα=$\frac{m-1}{5}$，
∴1+2sinαcosα=1+$\frac{2m-2}{5}$=$\frac{49}{25}$，
解得m=$\frac{17}{5}$．
（Ⅱ）（1-sin²α）cosα+sin²αtanαcosα
=cos³α+sin³α
=（cosα+sinα）（cos²α-cosαsinα+sin²α）
=-$\frac{7}{5}$（1-$\frac{\frac{17}{5}-1}{5}$）
=$\frac{91}{125}$．

点评 本题考查实数值的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式的合理运用．