Question

12．已知S_n是首项为a的等比数列{a_n}的前n项的和，S₃，S₉，S₆成等差数列．
（1）求：a₂，a₈，a₅成等差数列；
（2）若T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2，求T_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由S₃，S₉，S₆成等差数列，可得2S₉=S₃+S₆，当q=1时不成立，当q≠1时，利用等比数列的前n项和公式化为：2q⁶-q³-1=0，解得q³．只要证明2a₈-（a₂+a₅）=0，即可得出．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，∵S₃，S₉，S₆成等差数列，
∴2S₉=S₃+S₆，
当q=1时不成立，
∴q≠1，$\frac{2a（{q}^{9}-1）}{q-1}$=$\frac{a（{q}^{3}-1）}{q-1}$+$\frac{a（{q}^{6}-1）}{q-1}$，化为：2q⁶-q³-1=0，
解得q³=-$\frac{1}{2}$．
∴2a₈-（a₂+a₅）=${a}_{2}（2{q}^{6}-{q}^{3}-1）$=0，
∴a₂，a₈，a₅成等差数列．
（2）解：由na_3n-2=na•q^3n-3=na$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴T_n=a₁+2a₄+3a₇+…+na_3n-2
=a$[1+2×（-\frac{1}{2}）$+3×$（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$n（-\frac{1}{2}）^{n-1}]$，
∴$-\frac{1}{2}{T}_{n}$=a$[-\frac{1}{2}+2×（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+（n-1）$（-\frac{1}{2}）^{n-1}$+n$（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴$\frac{3}{2}{T}_{n}$=$a[1+（-\frac{1}{2}）+（-\frac{1}{2}）^{2}$+…+$（-\frac{1}{2}）^{n-1}-n（-\frac{1}{2}）^{n}]$=a$[\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}-n（-\frac{1}{2}）^{n}]$=a$[\frac{2}{3}-\frac{2+3n}{3}（-\frac{1}{2}）^{n}]$，
∴T_n=a$[\frac{4}{9}-\frac{4+6n}{9}（-\frac{1}{2}）^{n}]$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．