Question

7．已知等比数列{a_n}中，a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{lga_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用对数的运算性质只要证明：lga_n+1-lga_n=常数即可得出．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁+a₃=10，a₄+a₆=$\frac{5}{4}$．
∴${a}_{1}（1+{q}^{2}）$=10，${a}_{1}{q}^{3}（1+{q}^{2}）$=$\frac{5}{4}$，解得a₁=8，q=$\frac{1}{2}$．
∴a_n=8×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$=2^4-n．
（2）证明：lga_n+1-lga_n=$lg\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=lg$\frac{1}{2}$=-lg2，lga₁=3lg2．
∴数列{lga_n}是等差数列，首项为3lg2，公差为-lg2．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的定义及其通项公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．