Question

3．已知P={x|x²-2x-15≤0}，S={x|2-m≤x≤3+m}，
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围．
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据充要条件的定义建立方程关系进行求解即可．
（2）根据必要条件的定义建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：P={x|x²-2x-15≤0}={x|-3≤x≤5}，
（1）若存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{2-m≤3+m}\\{2-m=-3}\\{3+m=5}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{1}{2}}\\{m=5}\\{m=2}\end{array}\right.$，此时m无解，
即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
（2）若存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P，若2-m＞3+m得m＜-$\frac{1}{2}$，此时S=∅，满足条件．
若S≠∅，则满足$\left\{\begin{array}{l}{2-m≤3+m}\\{3+m≤5}\\{2-m≥-3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{m≥-\frac{1}{2}}\\{m≤2}\\{m≤5}\end{array}\right.$，
即-$\frac{1}{2}$≤m≤2，
综上m≤2，
即存在m≤2使x∈P是x∈S的必要条件．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件的定义建立不等式关系是解决本题的关键．