Question

1．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-6y≤3}\\{x+2y≤3}\\{x≥0}\end{array}\right.$，则x-2y的取值范围是[-3，$\frac{9}{5}$]．

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．

解答 解：设z=x-2y，则y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：
平移直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，
由图象可知当直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点A（0，$\frac{3}{2}$）时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最大，此时z最小，
此时z=-2×$\frac{3}{2}$=-3，
直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$，过点B时，直线y=$\frac{1}{2}x-\frac{z}{2}$的截距最小，此时z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-6y=3}\\{x+2y=3}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{12}{5}}\\{y=\frac{3}{10}}\end{array}\right.$．，即B（$\frac{12}{5}$，$\frac{3}{10}$）．
代入目标函数z=x-2y，
得z=$\frac{12}{5}$-2×$\frac{3}{10}$=$\frac{9}{5}$．
∴目标函数z=x-2y的最小值是$\frac{9}{5}$．
即-3≤z≤$\frac{9}{5}$，
故答案为：[-3，$\frac{9}{5}$]．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．