Question

设f（x）是定义在R上的函数，若f（0）=

1

8

，且对任意的x∈R，满足f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，则f（2014）=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,抽象函数及其应用,函数的值

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：通过函数的递推关系式，写出f（2014），得到一个等比数列，然后求出和值即可．

解答： 解：∵f（x+2）-f（x）=3^x，f（x+4）-f（x）=10×3^x，
∴f（2014）=f（2010）+10×3²⁰¹⁰
=f（2006）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶
=…
=f（2）+10×3²⁰¹⁰+10×3²⁰⁰⁶+…+10×3²
=f（2）+10（3²⁰¹⁰+3²⁰⁰⁶+…+3²）
=f（0）+3+（3²+3⁶+…+3²⁰¹⁰）
=f（0）+3⁰+

90(32012-1)

34-1

=

1

8

+1+

32014-9

8

=

32014

8

．
故答案为：

32014

8

．

点评：本题考查函数值的求法，等比数列求和的应用，数列与函数的综合试题，考查计算能力．