Question

若二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

　对于(1)，由f(0)＝1可得c，利用f(x＋1)－f(x)＝2x恒成立，可求出a，b，进而确定f(x)的解析式．对于(2)，可利用函数思想求得．

[解析]　(1)由f(0)＝1得，c＝1.

∴f(x)＝ax²＋bx＋1.

又f(x＋1)－f(x)＝2x，

∴a(x＋1)²＋b(x＋1)＋1－(ax²＋bx＋1)＝2x，

即2ax＋a＋b＝2x，

∴

因此，f(x)＝x²－x＋1.

(2)f(x)>2x＋m等价于x²－x＋1>2x＋m，即x²－3x＋1－m>0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上的最小值大于0即可．

∵g(x)＝x²－3x＋1－m在[－1,1]上单调递减，

∴g(x)_min＝g(1)＝－m－1，

由－m－1>0得，m<－1.

因此满足条件的实数m的取值范围是(－∞，－1)．