Question

（2014•揭阳三模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=e﹣x﹣ex2+a，则函数f（x）在x=1处的切线方程为（ ）

A.x+y=0 B.ex﹣y+1﹣e=0 C.ex+y﹣1﹣e=0 D.x﹣y=0

 

Answer 1

B

【解析】

试题分析：利用f（0）=0先求出a的值，设x∈（0，+∞），根据已知条件求出f（﹣x），再利用奇函数，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同时可求出导函数；求出切点坐标，再求出该点处的导数即为切线的斜率，利用点斜式表示出直线方程即可．

【解析】
由题意得，f（0）=1﹣0+a=0，解得a=﹣1，

∴当x∈（﹣∞，0]时，f（x）=e﹣x﹣ex2﹣1，

设x∈（0，+∞），则﹣x＜0，f（﹣x）=ex﹣ex2﹣1，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ex+ex2+1，此时x∈（0，+∞），

∴f′（x）=﹣ex+2ex，

∴f′（1）=e，

把x=1代入f（x）=﹣ex+ex2+1得，f（1）=1，则切点为（1，1），

∴所求的切线方程为：y﹣1=e（x﹣1），化简得ex﹣y﹣e+1=0，

故选B．