Question

（2014•郴州三模）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=xlnx﹣x的图象上的动点，该曲线在点P处的切线l交y轴于点M（0，yM），过点P作l的垂线交y轴于点N（0，yN）．则的范围是（ ）

A.（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） B.（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）

C.[3，+∞） D.（﹣∞，﹣3]

 

Answer 1

A

【解析】

试题分析：设出P的坐标，求导函数，可得曲线在点P处的切线l的方程，过点P作l的垂线的方程，令x﹣0，可得yM=﹣a，yN=alna﹣a+，进而可求=﹣lna+1﹣，利用基本不等式，即可求出的范围．

【解析】
设P（a，alna﹣a），则

∵f（x）=xlnx﹣x，

∴f′（x）=lnx，

∴曲线在点P处的切线l的方程为y﹣alna+a=lna（x﹣a），即y=﹣a+xlna．

令x=0，可得yM=﹣a，

过点P作l的垂线的方程为y﹣alna+a=﹣（x﹣a），

令x=0，可得yN=alna﹣a+，

∴=﹣lna+1﹣，

∵lna+≥2或lna+≤﹣2，

∴﹣（lna+）≤﹣2或﹣（lna+）≥2，

∴=﹣lna+1﹣的范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

故选A．