Question

9．若非零函数f（x）对任意实数a，b，均有f（a+b）=f（a）•f（b），且当x＜0时，f（x）＞1；
（1）求f（0）的值；
（2）求证：①任意x∈R，f（x）＞0；  ②f（x）为减函数；
（3）当f（1）=$\frac{1}{2}$时，解不等式f（x²+x-3）•f（5-x²）≤$\frac{1}{4}$；
（4）若f（1）=$\frac{1}{2}$，求f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=f²（0），f（0）≠0，求f（0）的值；
（2）①f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$），结合函数f（x）为非零函数可得；②任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，证明$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，可得f（x）为减函数；
（3）由由f（2）=f²（1）=$\frac{1}{4}$，原不等式转化为f（x²+x-3+5-x²）≤f（2），从而利用单调性求解．
（4）f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=f²（1）=$\frac{1}{4}$，f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，f（-4）=$\frac{1}{f（4）}$=16，即可求出f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值

解答 （1）解：∵f（0）=f²（0），f（0）≠0，∴f（0）=1，
（2）证明：①∵f（$\frac{x}{2}$）≠0，
∴f（x）=f（$\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$）=f²（$\frac{x}{2}$）＞0．
②：f（b-b）=f（b）•f（-b）=1；
∴f（-b）=$\frac{1}{f（b）}$；
任取x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，
∴$\frac{f（{x}_{1}）}{f（{x}_{2}）}$=f（x₁-x₂）＞1，
又∵f（x）＞0恒成立，
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）为减函数；
（3）解：由f（2）=f²（1）=$\frac{1}{4}$，
原不等式转化为f（x²+x-3+5-x²）≤f（2），
结合②得：x+2≥2，
∴x≥0，
故不等式的解集为{x|x≥0}．
（4）f（1）=$\frac{1}{2}$，f（2）=f²（1）=$\frac{1}{4}$，f（4）=f²（2）=$\frac{1}{16}$，f（-4）=$\frac{1}{f（4）}$=16，
∴f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值分别是16，$\frac{1}{16}$．

点评 本题考查了函数单调性的证明与应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．