Question

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴正半烟为极轴，建立极坐标系，设曲线C参数方程为

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（a＜0，θ为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=2

2

．
（1）写出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
（2）若曲线C上的点到直线l的最大距离是5

2

，求a的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C参数方程为

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（a＜0，θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1消去θ可得普通方程；直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=2

2

，展开为

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=2

2

，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出直角坐标方程．
（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可得出．

解答： 解：（1）曲线C参数方程为

x=a+ 2 cosθ y= 2 sinθ

（a＜0，θ为参数），消去θ可得（x-a）²+y²=2；
直线l的极坐标方程为ρcos（θ-

π

4

）=2

2

，展开为

2

2

ρ（cosθ+sinθ）=2

2

，化为x+y-4=0．
（2）∵曲线C上的点到直线l的最大距离是5

2

，
∴

|a-4|

2

+

2

=5

2

，a＜0．
解得a=-4．

点评：本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角方程、点到直线的距离公式、点与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题