Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，抛物线y²=

15

8

（a+c）x于椭圆交于B，C两点，若四边形ABFC是平行四边形，则椭圆的离心率是（　　）

• A、

  1

  2

• B、2
• C、

  3

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求出F和A的坐标，由对称性设出B、C的坐标，根据平行四边形的性质求出横坐标，代入抛物线方程求出B的纵坐标，将点B的坐标代入椭圆方程，化简整理得到关于椭圆离心率e的方程，即可得到该椭圆的离心率．

解答： 解：由题意得，椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0，c为半焦距）的左焦点为F，右顶点为A，
则A（a，0），F（-c，0），
∵抛物线y²=

15

8

（a+c）x于椭圆交于B，C两点，
∴B、C两点关于x轴对称，可设B（m，n），C（m，-n）
∵四边形ABFC是平行四边形，∴2m=a-c，则m=

1

2

(a-c)，
将B（m，n）代入抛物线方程得，n²=

15

8

（a+c）m=

15

16

（a+c）（a-c）=

15

16

（a²-c²），
∴n2=

15

16

b2，则不妨设B（

1

2

(a-c)，

15

4

b），再代入椭圆方程得，

1 4 (a-c)2

a2

+

15b2

16b2

=1，
化简得

1 4 (a-c)2

a2

=

1

16

，即4e²-8e+3=0，解得e=

1

2

或

3

2

＞1（舍去），
故选：A．

点评：本题考查椭圆、抛物线的标准方程，以及它们的简单几何性质，平行四边形的性质，主要考查了椭圆的离心率e，属于中档题．