Question

7．如图所示，过点（1，0）的直线与抛物线y²=x交于A、B两点，射线OA和OB分别和圆（x-2）²+y²=4交于D、E两点，若$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ，则λ的最小值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 设A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），直线AB的方程为x=my+1，代入抛物线的方程，运用韦达定理，再由直线OA，OB代入圆方程，可得D，E的坐标，再由$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ=$\frac{OA•OB}{OD•OE}$=$\frac{OA}{OD}$•$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{1+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，化简整理代入，即可得到所求最小值．

解答 解：设A（y₁²，y₁），B（y₂²，y₂），直线AB的方程为x=my+1，
代入抛物线的方程可得y²-my-1=0，
即有y₁y₂=-1，y₁+y₂=m，
由直线OA：y=$\frac{x}{{y}_{1}}$代入圆（x-2）²+y²=4，可得：
（1+y₁²）x²-4y₁²x=0，求得D（$\frac{4{{y}_{1}}^{2}}{1+{{y}_{1}}^{2}}$，$\frac{4{y}_{1}}{1+{{y}_{1}}^{2}}$），
同理可得E（$\frac{4{{y}_{2}}^{2}}{1+{{y}_{2}}^{2}}$，$\frac{4{y}_{2}}{1+{{y}_{2}}^{2}}$），
即有$\frac{{S}_{△OAB}}{{S}_{△ODE}}$=λ=$\frac{OA•OB}{OD•OE}$=$\frac{OA}{OD}$•$\frac{OB}{OE}$=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}}{4}$•$\frac{1+{{y}_{2}}^{2}}{4}$
=$\frac{1+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}+1}{16}$=$\frac{2+（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-2{y}_{1}{y}_{2}}{16}$=$\frac{4+{m}^{2}}{16}$≥$\frac{1}{4}$，
当且仅当m=0时，λ取得最小值$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 本题考查直线和抛物线的方程联立，运用韦达定理，考查直线和圆的交点的求法，注意联立方程组，考查运算能力，属于中档题．