Question

17．正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求
（1）A₁B₁与C₁C所成的角；
（2）AD与B₁B所成的角；
（3）A₁D与BC₁所成的角；
（4）D₁C与A₁A所成的角；
（5）A₁D与AC所成的角．

Answer 1

分析 （1）由CC₁∥BB₁，得∠A₁B₁B是A₁B₁与C₁C所成的角，由此能求出A₁B₁与C₁C所成的角．
（2）由AD∥BC，得∠B₁BC是AD与B₁B所成的角，由此能求出AD与B₁B所成的角．
（3）由A₁D∥B₁C，B₁C⊥BC₁，能求出A₁D与BC₁所成的角；
（4）由D₁C∥A₁B，得∠AA₁B是D₁C与A₁A所成的角，由此能求出D₁C与A₁A所成的角；
（5）由A₁D∥B₁C，得∠B₁CA是A₁D与AC所成的角，由此能求出A₁D与AC所成的角．

解答 解：（1）正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵CC₁∥BB₁，∴∠A₁B₁B是A₁B₁与C₁C所成的角，
∵A₁B₁⊥BB₁，∴∠A₁B₁B=90°，
∴A₁B₁与C₁C所成的角为90°．
（2）∵AD∥BC，∴∠B₁BC是AD与B₁B所成的角，
∵BB₁⊥BC，∴∠B₁BC=90°，
∴AD与B₁B所成的角为90°．
（3）∵A₁D∥B₁C，又B₁C⊥BC₁，
∴A₁D与BC₁所成的角为90°；
（4）∵D₁C∥A₁B，∴∠AA₁B是D₁C与A₁A所成的角，
∵AA₁=AB，AA₁⊥AB，
∴∠AA₁B=45°，
∴D₁C与A₁A所成的角为45°；
（5）∵A₁D∥B₁C，∴∠B₁CA是A₁D与AC所成的角，
∵B₁C=AC=AB₁，∴∠B₁CA=60°，
∴A₁D与AC所成的角为60°．

点评 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．