Question

8．如图，抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），取垂直于y轴的直线与抛物线交于不同的两点P₁，P₂．过P₁，P₂作圆心为Q的圆，使抛物线的其余点均在圆外，且P₁Q⊥P₂Q．
（1）求抛物线C和圆Q的方程；
（2）过点F作直线，与抛物线C和圆Q依次交于M，A，B，N，求|MN|•|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的焦点坐标求出p值，可得抛物线方程，再由P₁（-2，1），P₂（2，1）到圆Q的圆心Q的距离最小，求得Q的坐标，可得圆Q的方程；
（2）设出直线方程y=kx+1，和抛物线方程联立，利用抛物线的焦点弦长公式求得|MN|，再由圆心距、圆的半径和弦长的关系求得|AB|，从而求得|MN|•|AB|的最小值．

解答 解：（1）由抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F（0，1），可得：$\frac{p}{2}=1$，即p=2，
∴抛物线方程为x²=4y．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，解得P₁（-2，1），P₂（2，1），
设Q（0，m），要使抛物线x²=4y上有两点P₁（-2，1），P₂（2，1）到Q（0，m）的距离最小，
则m＞2，且m-2=1，∴m=3，
则Q（0，3），$|Q{P}_{1}|=\sqrt{（-2-0）^{2}+（1-3）^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴满足条件的圆Q的方程为x²+（y-3）²=8；
（2）由题意可知，直线斜率存在，设直线方程为y=kx+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，得x²-4kx-4=0，
x_M+x_N=4k，
∴|MN|=${y}_{M}+{y}_{N}+2=k（{x}_{M}+{x}_{N}）+4=4（{k}^{2}+1）$，
Q到直线kx-y+1=0的距离d=$\frac{|-1×3+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∴$|AB|=2\sqrt{8-\frac{4}{{k}^{2}+1}}=2\sqrt{\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$，
∴|MN|•|AB|=$4（{k}^{2}+1）•2\sqrt{\frac{8{k}^{2}+4}{{k}^{2}+1}}$=$16\sqrt{（{k}^{2}+1）（2{k}^{2}+1）}=16\sqrt{2{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$．
∴当k²=0，即k=0时，（|MN|•|AB|）_min=16．

点评 本题考查直线与抛物线方程的位置关系，直线与直线的位置关系，以及圆的方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用，属难题．