Question

3．如图所示的几何体是由棱长为2cm的正方体ABCD一A₁B₁C₁D₁被平面AB₁D₁所截得的较大部分
（1）求点C到平面AB₁D₁的距离；
（2）求AC与平面AB₁D₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer 1

分析 （1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C到平面AB₁D₁的距离．
（2）设AC与平面AB₁D₁所成角为θ，利用向量法能求出AC与平面AB₁D₁所成角．

解答 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
C（0，2，0），A（2，0，0），B₁（2，2，2），D₁（0，0，2），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-2，0，2），
设平面AB₁D₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=2y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=-2x+2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
∴点C到平面AB₁D₁的距离d=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{3}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
（2）设AC与平面AB₁D₁所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-2-2|}{\sqrt{8}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴θ=arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AC与平面AB₁D₁所成角为arcsin$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查点到平面的距离的求法，考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．