Question

13．己知等差数列{a_n}中，a₂=2，a₅=5．
（Ⅰ）若b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项的和S_n
 （Ⅱ）若c₁=a₁，c_n-c_n-1=a_n，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₂=2、a₅=5可知等差数列{a_n}的公差d=1，进而可得其通项公式，计算即得结论；
（II）通过（I）可知，当n≥2时c_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，进而验证当n=1时成立即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a₂=2，a₅=5，
∴d=$\frac{{a}_{5}-{a}_{2}}{3-2}$=1，
所以a_n=2+（n-2）=n，b_n=${2}^{{a}_{n}}$=2ⁿ，
于是S_n=2¹+2²+…+2ⁿ
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺¹-2；
（II）由（I）可知，当n≥2时c_n=（c_n-c_n-1）+（c_n-1-c_n-2）+…+（c₂-c₁）+c₁
=a_n+a_n-1+…+a₂+a₁
=$\frac{n（n+1）}{2}$，
又∵c₁=1满足上式，
∴c_n=$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．