Question

10．已知|AB|=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，则动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

Answer 1

分析 设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．由|AB|=3，可得a²+b²=9．由于$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，可得a、b关系．消去a，b即可得出动点P的轨迹方程．

解答 解：设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．
∵|AB|=3，∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，化为a²+b²=9．
∵$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}$，
∴（x，y）=$\frac{2}{3}$（a，0）+$\frac{1}{3}$（0，b）=（$\frac{2}{3}$a，$\frac{1}{3}$b）．∴x=$\frac{2}{3}a$，y=$\frac{1}{3}b$．可得a=$\frac{3}{2}x$，b=3y，代入a²+b²=9，
∴$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
∴动点P的轨迹方程是$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．

点评 本题考查了向量的线性运算、向量相等、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．