Question

18．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面ABB₁A₁为正方形，侧面BB₁C₁C为菱形，∠CBB₁=60°，AB⊥B₁C
（1）求证：平面ABB₁A₁⊥平面BB₁C₁C；
（2）若AB=2，求三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高．

Answer 1

分析 （1）证明AB⊥BB₁．AB⊥B₁C，推出AB⊥平面BB₁C₁C，然后证明平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．
（2）设O是BB₁的中点，连结CO，则CO⊥BB₁．求出CO，连结AB₁，利用${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$求解三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高即可．

解答 （1）证明：由侧面ABB₁A₁为正方形，知AB⊥BB₁．
又AB⊥B₁C，BB₁∩B₁C=B₁，所以AB⊥平面BB₁C₁C，
又AB?平面ABB₁A₁，所以平面ABB₁A₁⊥BB₁C₁C．
…（5分）
解：（2）设O是BB₁的中点，连结CO，则CO⊥BB₁．
由（1）知，CO⊥平面ABB₁A₁，且CO=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$…（7分）
连结AB₁，则${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△AB{B}_{1}}$•CO=$\frac{1}{6}$AB²•CO=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$…（9分）
因${V}_{{B}_{1}-ABC}$=${V}_{C-AB{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×h$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则h=$\sqrt{3}$．
故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高$\sqrt{3}$…（12分）

点评 本题考查空间几何体的距离的求法，等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．