Question

3．已知函数f（x）=cos（?x-$\frac{π}{3}$）-sin（$\frac{π}{2}$-?x）．
（I）求f（x）的最小值
（II）若函数y=f（x）图象的两个相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，求其单调增区间．

Answer 1

分析 （I）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（$ωx-\frac{π}{6}$），根据正弦函数的性质即可得解函数的最小值．
（II）由已知可求周期，利用周期公式可求ω的值，从而可求函数解析式，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得函数的单调递增区间．

解答 解：（I）∵$f（x）=\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-cosωx=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx-\frac{1}{2}sinωx=sin（ωx-\frac{π}{6}）$，
∴f（x）的最小值为-1．
（II）∵y=f（x）图象的两个相邻的对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
∴$f（x）的周期为π，即\frac{2π}{ω}=π，解得ω=2$，
当$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}时图象单调递增，此时kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，
所以$f（x）的单调递增区间为[kπ-\frac{π}{6}，kπ+\frac{π}{3}]$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，三角函数周期公式的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．