Question

10．二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中所有无理项的系数之和为-51．

Answer 1

分析 T_r+1=${∁}_{6}^{r}（\root{3}{x}）^{6-r}（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5r}{6}}$，令r=0，6时，可得有理项为：T₁=-12x²，T₇=2⁶x^-3=64x^-3，可得有理项的系数之和．令x=1时，二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中所有项的系数之和=1．即可得出二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中所有无理项的系数之和．

解答 解：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（\root{3}{x}）^{6-r}（-\frac{2}{\sqrt{x}}）^{r}$=（-2）^r${∁}_{6}^{r}$${x}^{2-\frac{5r}{6}}$，
令r=0，6时，可得有理项为：T₁=-12x²，T₇=2⁶x^-3=64x^-3，
可得有理项的系数之和为64-12=52．
令x=1时，二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中所有项的系数之和=（1-2）⁶=1．
∴二项式（$\root{3}{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）⁶的展开式中所有无理项的系数之和=1-52=-51．
故答案为：-51．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．