Question

15．如图所示，已知点A（1，1），单位圆上半部分上的点B满足$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0，则向量$\overrightarrow{OB}$的坐标为（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意设出$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）（0＜θ＜π），结合$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0求得θ值，则向量$\overrightarrow{OB}$的坐标可求．

解答 解：如图
∵A（1，1），∴$\overrightarrow{OA}=（1，1）$，
由题意可设B（cosθ，sinθ）（0＜θ＜π），
即$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）（0＜θ＜π），
由$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=0，得sinθ+cosθ=0，即sin（$θ+\frac{π}{4}$）=0，
∵0＜θ＜π，∴$\frac{π}{4}＜θ+\frac{π}{4}＜\frac{5π}{4}$，则$θ+\frac{π}{4}=π$，即$θ=\frac{3π}{4}$．
∴$\overrightarrow{OB}$=（cosθ，sinθ）=（$cos\frac{3π}{4}，sin\frac{3π}{4}$）=（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．
故答案为：（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了数量积的坐标表示，训练了三角函数中辅助角公式的运用，是中档题．