Question

9．已知数列{a_n}满足：a₁=3，a_n+1=9•$\root{3}{{a}_{n}}$（n≥1），则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=27．

Answer 1

分析 把已知数列递推式两边取常用对数，然后构造等比数列，求出数列{a_n}的通项公式，则极限可求．

解答 解：由a_n+1=9•$\root{3}{{a}_{n}}$（n≥1），得$lg{a}_{n+1}=lg9+lg\root{3}{{a}_{n}}$，
即$lg{a}_{n+1}=\frac{1}{3}lg{a}_{n}+2lg3$，令b_n=lga_n，
则${b}_{n+1}=\frac{1}{3}{b}_{n}+2lg3$，∴${b}_{n+1}-3lg3=\frac{1}{3}（{b}_{n}-3lg3）$，
则数列{b_n-3lg3}是以b₁-3lg3=lga₁-3lg3=-2lg3为首项，以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，
∴${b}_{n}-3lg3=-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即${b}_{n}=3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}$，
∴${a}_{n}=1{0}^{3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
则$\underset{lim}{n→∞}$a_n=$\underset{lim}{n→∞}1{0}^{3lg3-2lg3•（\frac{1}{3}）^{n-1}}$=10^3lg3=10^lg27=27．
故答案为：27．

点评 本题考查数列极限的求法，考查了构造等比数列的方法，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．