Question

5．已知函数f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}$cos2x．
（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）当x∈$[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），利用周期公式可求最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得解得f（x）的单调增区间．
（2）由$0≤x≤\frac{π}{2}$，可得$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可求函数f（x）的最大值和最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵f（x）=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），…（2分）
∴T=π．…（3分）
由-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，可得解得：-$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为：$[{-\frac{π}{12}+kπ，\frac{5π}{12}+kπ}]$（k∈z）．…（6分）
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，
∴$-\frac{π}{3}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$，可得：$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{2x-\frac{π}{3}}）≤1$，
∴$f{（x）_{max}}=2，f{（x）_{min}}=-\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期公式的应用，考查了正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于中档题．