Question

已知等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．对n分类讨论“裂项求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差数列{a_n}的公差为2，前n项和为S_n，
∴S_n=na1+

n(n-1)

2

d=n²-n+na₁，
∵S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴

S

2 2

=S1•S4，
∴(22-2+2a1)2=a1•(42-4+4a1)，化为(1+a1)2=a1(3+a1)，解得a₁=1．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b_n=（-1）^n-1

4n

anan+1

=(-1)n-1•

4n

(2n-1)(2n+1)

=(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
∴T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…+(-1)n-1(

1

2n-1

+

1

2n+1

)．
当n为偶数时，T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…+(

1

2n-3

+

1

2n-1

)-(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
当n为奇数时，T_n=(1+

1

3

)-(

1

3

+

1

5

)+(

1

5

+

1

7

)+…-(

1

2n-3

+

1

2n-1

)+(

1

2n-1

+

1

2n+1

)=1+

1

2n+1

=

2n+2

2n+1

．
∴Tn=

2n 2n+1 ，n为偶数 2n+2 2n+1 ，n为奇数

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法，属于难题．