考点：利用导数求闭区间上函数的最值,三角函数的化简求值,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性
专题：导数的综合应用
分析：（I）函数f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定义域为{x|
x≠kπ+，k∈Z}．利用导数的运算法则可得f′（x）=
≥0，即可得出f（x）的单调区间；
（II）
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，
x∈(0，)．利用导数和均值不等式即可得出．
解答：
（I）解：函数f（x）=sinx（1+
）=sinx+
，其定义域为{x|
x≠kπ+，k∈Z}．
f′（x）=cosx+
=
≥0，
∴f（x）的单调递增区间是
(kπ-，kπ+)（k∈Z）．
（II）证明：
（1+
）＞2（0＜x＜
）?sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
令g（x）=sinx（1+
）-2x，
x∈(0，)．
g′（x）=
-2=
++-2＞3-2=
＞0，
∴函数g（x）在
(0，)上单调递增，且在x=0处连续．
∴g（x）＞g（0）=0．
∴sinx（1+
）-2x＞0，
x∈(0，)．
即
（1+
）＞2（0＜x＜
）．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性、均值不等式，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
