Question

8．求适合下列条件的双曲线的标准方程
（Ⅰ）过点（3，-1），且离心率$e=\sqrt{2}$；
（Ⅱ）一条渐近线为$y=-\frac{3}{2}x$，顶点间距离为6．

Answer 1

分析 （I）由离心率$e=\sqrt{2}$，可得此双曲线为等轴双曲线，又过点（3，-1），因此焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为：x²-y²=a²（a＞0），把点的坐标代入即可得出．
（II）①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．由题意可得：$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．
②当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．由题意可得：$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得即可得出．

解答 解：（I）∵离心率$e=\sqrt{2}$，∴此双曲线为等轴双曲线，
过点（3，-1），因此焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为：x²-y²=a²（a＞0），
∴a²=9-1=8，∴双曲线方程为x²-y²=8．
（II）①当焦点在x轴上时，设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．
由题意可得：$\frac{b}{a}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=$\frac{9}{2}$．∴标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{4{y}^{2}}{81}$=1．
②当焦点在y轴上时，设双曲线的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a，b＞0）．
由题意可得：$\frac{a}{b}$=$\frac{3}{2}$，2a=6，解得a=3，b=2．∴标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．