Question

19．设函数f（x）=$\frac{{3{x^2}+mx}}{e^x}$（m∈R）．
（1）若f（x）在x=0处取得极值，求实数m的值，并确定f（0）是极大值还是极小值；
（2）若f（x）在[3，+∞）上单调递减，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出m的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断出f（0）是极大值还是极小值；
（2）求出函数的导数，问题转化为m≥$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$在[3，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$，x∈[3，+∞），根据函数的单调性求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-{3x}^{2}+（6-m）x+m}{{e}^{x}}$，
由f′（0）=0，解得：m=0，
此时，f′（x）=$\frac{-3x（x-2）}{{e}^{x}}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）递减，在（0，2）递增，在（2，+∞）递减，
∴f（0）是函数的极小值；
（2）由题意得：f′（x）≤0在[3，+∞）上恒成立，
∴-3x²+（6-m）x+m≤0在[3，+∞）恒成立，
∴m≥$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$在[3，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{-{3x}^{2}+6x}{x-1}$，x∈[3，+∞），
∵g′（x）=$\frac{-3{[（x-1）}^{2}+1]}{{（x-1）}^{2}}$＜0，
∴g（x）在[3，+∞）递减，
∴g（x）_max=g（3）=-$\frac{9}{2}$，
∴m≥-$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．