Question

4．设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₃=7，S₆=63．
（1）求a_n和S_n；
（2）记数列{S_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （1）由q=1时，则S₆=2S₃，与S₃=7，S₆=63矛盾，当q≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}\\{{S}_{7}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1；
（2）由（1）可知：由T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1，采用分组求和，利用等差数列及等比数列前n项和公式，即可求得T_n．

解答 解：（1）若q=1时，则S₆=2S₃，与S₃=7，S₆=63矛盾，
∴q≠1．…（1分）
当q≠1，由$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{3}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{3}）}{1-q}}\\{{S}_{7}=\frac{{a}_{1}（1-{q}^{7}）}{1-q}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{q=2}\end{array}\right.$，
由等比数列通项公式可知：a_n=a₁•q^n-1=2^n-1，
则S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=2ⁿ-1；…（10分）
（2）数列{S_n}的前n项和为T_n，T_n=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1，
=2+2²+…+2ⁿ-n，
=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n，
=2ⁿ⁺¹-n-2，
数列{S_n}的前n项和为T_n=2ⁿ⁺¹-n-2．

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式，考查分组求和的应用，考查计算能力，属于中档题．