Question

19．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0，c=\sqrt{{a^2}-{b^2}}，e=\frac{c}{a}）$，其左、右焦点分别为F₁，F₂，关于椭圆有以下四种说法：
（1）设A为椭圆上任一点，其到直线${l_1}：x=-\frac{a^2}{c}，{l_2}：x=\frac{a^2}{c}$的距离分别为d₂，d₁，则$\frac{{|A{F_1}|}}{d_1}=\frac{{|A{F_2}|}}{d_2}$；
（2）设A为椭圆上任一点，AF₁，AF₂分别与椭圆交于B，C两点，则$\frac{{|A{F_1}|}}{{|{F_1}B|}}+\frac{{|A{F_2}|}}{{|{F_2}C|}}≥\frac{{2（1+{e^2}）}}{{1-{e^2}}}$（当且仅当点A在椭圆的顶点取等）；
（3）设A为椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A的椭圆切线为l，M为线段F₁F₂上一点，且$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，则直线AM⊥l；
（4）面积为2ab的椭圆内接四边形仅有1个．
其中正确的有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 （1）根据椭圆的第二定义可知$\frac{A{F}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{{d}_{1}}=e$；
（2），分别取点A为椭圆的四个顶点验证，符合题意；
（3），由$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，得AM为∠F₁AF₂的角平分线，得直线AM⊥l；
（4），当四边形的四个顶点为椭圆的定点时和分布在四个象限都可以．

解答 解：对于（1）根据椭圆的第二定义可知$\frac{A{F}_{1}}{{d}_{2}}=\frac{A{F}_{2}}{{d}_{1}}=e$，故错；
对于（2），分别取点A为椭圆的四个顶点验证，符合题意，故正确；
对于（3），A为椭圆上且不在坐标轴上的任一点，过A的椭圆切线为l，则∠F₁AF₂的角平分线垂直l，∵$\frac{{|A{F_1}|}}{{|A{F_2}|}}=\frac{{|{F_1}M|}}{{|M{F_2}|}}$，∴AM为∠F₁AF₂的角平分线，故正确；
对于（4），当四边形的四个顶点为椭圆的定点时和分布在四个象限都可以，故错．
故答案为：B．

点评 本题考查了椭圆的性质，比较难，但可以采用特殊情况验证法判定，属于压轴题．