Question

9．已知两个不相等的非零向量$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$，向量组$（\overrightarrow{x_1}，\overrightarrow{x_2}，\overrightarrow{x_3}，\overrightarrow{x_4}）$和$（\overrightarrow{y_1}，\overrightarrow{y_2}，\overrightarrow{y_3}，\overrightarrow{y_4}）$均由2个$\overrightarrow a$和2个$\overrightarrow b$排列而成，记$S=\overrightarrow{x_1}•\overrightarrow{y_1}+\overrightarrow{x_2}•\overrightarrow{y_2}+\overrightarrow{x_3}•\overrightarrow{y_3}+\overrightarrow{x_4}•\overrightarrow{y_4}$，那么S的所有可能取值中的最小值是$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$（用向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$表示）

Answer 1

分析 由题意即可求出S的所有可能的取值，然后根据不等式a²+b²≥2ab及数量积的计算公式即可比较这些值的大小，从而找出最小值．

解答 解：根据条件得，S所有可能取值为：
$2（{\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}）$$≥4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≥4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}≥4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$，
∴S的所有可能取值中的最小值为$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．
故答案为：$4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$．

点评 考查数量积的计算公式，余弦函数的值域，以及不等式a²+b²≥2ab的运用．