Question

14．如图所示，沿河有A、B两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污
水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送），依据经验公式，建厂的费用为f（m）=25•m^0.7（万元），m表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）$g（x）=3.2\sqrt{x}$（万元），x表示输送污水管道的长度（千米）；
已知城镇A和城镇B的污水流量分别为m₁=3、m₂=5，A、B两城镇连接污水处理厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）
（1）若在城镇A和城镇B单独建厂，共需多少总费用？
（2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A到拟建厂的距离为x千米，求联合建厂的总费用y与x的函数关系
式，并求y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件直接求解在城镇A和城镇B单独建厂，共需总费用．
（2）列出函数的解析式，利用平方，转化通过二次函数的最值求解即可．

解答 解：（1）分别单独建厂，
共需总费用：y₁=25×3^0.7+25×5^0.7≈131.1万元．
（2）联合建厂，共需总费用y=25×（3+5）^0.7+$3.2•\sqrt{x}$$+3.2\sqrt{20-x}$（0≤x≤20）
令h（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{20-x}$（0≤x≤20），
可得h²（x）=20+2$\sqrt{x（20-x）}$=20+2$\sqrt{-（x-10）^{2}+100}$∈[20，40]，
121.5≈25×${8}^{0.7}+3.2×\sqrt{20}$≤y≤$25×{8}^{0.7}+3.2×\sqrt{40}$≈127.4，
y的取值范围：[121.5，127.4]．

点评 本题考查函数的实际应用，二次函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．