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    9．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆，已知曲线C1上的点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$，射线θ=$\frac{π}{3}$与曲线C2交于点D（1，$\frac{π}{3}$）．
    （1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
    （2）若点A，B的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ2，θ+$\frac{π}{2}$），且两点均在曲线C1上，求$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$的值．

    分析 （1）把点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），化简解出即可得出．设圆C2的半径为R，由题意可得：圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，把点D（1，$\frac{π}{3}$）代入解得R．可得圆C2的j极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，把$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，ρ2=x2+y2，代入配方化简即可得出直角坐标方程．
    （2）把两点（ρ1，θ），（ρ2，θ+$\frac{π}{2}$）代入曲线C1，化简整理即可得出．

    解答 解：（1）把点M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）对应的参数φ=$\frac{π}{3}$代入曲线C1的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=acosφ}\\{y=bsinφ}\end{array}\right.$（a＞b＞0，φ为参数），
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{1=acos\frac{π}{3}}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}=bsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，解得a=2，b=1．
    ∴曲线C1的普通方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．设圆C2的半径为R，由题意可得：圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ，
    把点D（1，$\frac{π}{3}$）代入可得：1=2R$cos\frac{π}{3}$，解得R=1．
    ∴圆C2的j极坐标方程为ρ=2cosθ，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，即（x-1）2+y2=1．
    （2）∵两点（ρ1，θ），（ρ2，θ+$\frac{π}{2}$）均在曲线C1上，
    ∴$\frac{（{ρ}_{1}cosθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{1}sinθ）^{2}$=1，$\frac{（{ρ}_{2}sinθ）^{2}}{4}$+$（{ρ}_{2}cosθ）^{2}$=1，
    ∴$\frac{1}{{ρ}_{1}^{2}}$+$\frac{1}{{ρ}_{2}^{2}}$=$\frac{co{s}^{2}θ}{4}+si{n}^{2}θ$+$\frac{si{n}^{2}θ}{4}+co{s}^{2}θ$=$\frac{5}{4}$．．

    点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、椭圆方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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