Question

19．在△ABC中，若sinB，sinA，sinC成等差数列，则sinA的取值范围是$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 利用sinB，sinA，sinC成等差数列，及正弦定理，可得2a=b+c，再利用余弦定理及基本不等式可得结论．

解答 解：∵sinB，sinA，sinC成等差数列，
∴2sinA=sinB+sinC，
∴2a=b+c，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{3（{b}^{2}+{c}^{2}）-2bc}{8bc}$≥$\frac{1}{2}$（当且仅当b=c时取等号）
∵0＜A＜π
∴0＜A≤$\frac{π}{3}$
∴sinA∈$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
故答案为：$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

点评 本题考查等差数列的性质，考查正弦定理，考查余弦定理及基本不等式的运用，属于中档题．