Question

10．已知函数y=f（x），若存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立，则称函数y=f（x）为“可平衡”函数，有序数对（m，k）称为函数f（x）的“平衡”数对；
（1）若m=$\sqrt{3}$，判断f（x）=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
（2）若m₁，m₂∈R且（m₁，$\frac{π}{2}$），（m₂，$\frac{π}{4}$）均为f（x）=sin²x的“可平衡”数对，当0＜x＜$\frac{π}{3}$时，方程m₁+m₂=a有两个不相等的实根，求a 的取值范围．

Answer 1

分析 （1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，由题意$\sqrt{3}$sinx=sin（x+k）+sin（x-k），由此求出m、k的值；
（2）由题意求出m₁、m₂的值，利用m₁+m₂=a，结合三角函数的图象与性质求出a 的取值范围．

解答 解：（1）假设f（x）=sinx是“可平衡”函数，则由题意应有：
$\sqrt{3}$sinx=sin（x+k）+sin（x-k）
=sinxcosk+cosxsink+sinxcosk-cosxsink
=2sinxcosk；
∴cosk=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，解得 k=2tπ±$\frac{π}{6}$，t∈Z；
∴存在实数m、k（m≠0），使得对于定义域内的任意实数x，
均有m•f（x）=f（x+k）+f（x-k）成立；
∴f（x）=sinx是“可平衡”函数，
且 $cosk=\frac{{\sqrt{3}}}{2}∴k=±\frac{π}{6}+2nπ，n∈Z$；
（2）由题意m₁sin²x=sin²（x+$\frac{π}{2}$）+sin²（x-$\frac{π}{2}$）=2cos²x，
∴m₁=$\frac{{2cos}^{2}x}{{sin}^{2}x}$；
m₂sin²x=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+sin² （x-$\frac{π}{4}$）=sin²（x+$\frac{π}{4}$）+cos²（x+$\frac{π}{4}$）=1，
解得m₂=$\frac{1}{{sin}^{2}x}$；
∴m₁+m₂=$\frac{{2cos}^{2}x+1}{{sin}^{2}x}$=$\frac{2cos2x+4}{1-cos2x}$=a，
解得cos2x=$\frac{a-4}{a+2}$，
∵0＜x＜$\frac{π}{3}$，∴0＜2x＜$\frac{2π}{3}$，
∴-$\frac{1}{2}$＜cos2x＜1，且y=cos2x是单调递减，
∴方程m₁+m₂=a不会有两个不相等的实根，即a的取值范围为∅．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了函数与方程的应用问题，是综合题．