Question

已知向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），且

a

，

b

满足关系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k为正实数）．
（1）求将

a

•

b

表示为k的函数f（k）；
（2）求函数f（k）的最小值及取最小值时

a

 ， 

b

的夹角θ．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积表示两个向量的夹角

专题：平面向量及应用

分析：（1）由向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），可得|

a

|=|

b

|=1．由

a

，

b

满足关系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k为正实数）．利用数量积运算性质可得：k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

)，即可得出．
（2）由f（k）=

k2+1

4k

利用基本不等式的性质、向量的夹角公式即可得出．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（cosα，sinα），

b

=（cosβ，sinβ），
∴|

a

|=|

b

|=1，
∵

a

，

b

满足关系|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，（k为正实数）．
∴k2

a

2+

b

2+2k

a

•

b

=3(

a

2+k2

b

2-2k

a

•

b

)，
化为k2+1+8k

a

•

b

=3+2k²，
化为f(k)=

k2+1

4k

   (k＞0)．
（2）f（k）=

k2+1

4k

≥

2k

4k

=

1

2

，
当且仅当k=1时，f（k）取得最小值为

1

2

，

a

•

b

=

1

2

=cosθ，
∵θ∈[0，π]．
此时，θ=

π

3

．

点评：本题考查了数量积的运算性质、基本不等式的性质、向量的夹角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．