Question

（本小题满分16分）
如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁，A₁A的中点．

（1）求的长；
（2）求的值；
（3）求证：A₁B⊥C₁M（14分）．

Answer 1

（1）；
（2）见解析。

本题考查线段的长和两异面直线夹角余弦值的求法，解题时要恰当地建立空间直角坐标系，合理地运用 向量的夹角公式进行求解．以及向量的数量积证明垂直。
（1）以C为原点建立空间直角坐标系，B（0，a，0），N（a，0，a），由此能求出|BN |
（2）A₁（a，0，2a），C（0，0，0），B₁（0，a，2a），BA₁ =（a，-a，2a）， CB₁=（0，a，2a），再由cos＜ BA₁ ， CB₁＞，能求出BA₁，CB₁夹角的余弦值．
（3）同理利用垂直来证明数量积为零即可。
（1）；…..5分
（2）；…..6分
（3），……5分

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