Question

已知函数．

（1）若，解方程；

（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若且不等式对一切实数恒成立，求的取值范围

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）

【解析】

试题分析：（1）对于含二次项恒成立的问题，注意讨论二次项系数是否为0，这是学生容易漏掉的地方；恒成立问题一般需转化为最值，利用单调性证明在闭区间的单调性．（2）一元二次不等式在上恒成立，看开口方向和判别式．（3）含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立的问题通常有两种处理方法：一是利用二次函数在区间上的最值来处理；二是分离参数，再去求函数的最值来处理，一般后者比较简单；（4）二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个”二次，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点值符合四个方面分析；二次函数的综合问题应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．

试题解析：【解析】
（1）当时，， 故有

， 2分

当时，由，有，解得或 3分

当时，恒成立 4分

∴ 方程的解集为

5分

（2）， 7分

若在上单调递增，则有

， 解得， 9分

∴ 当时，在上单调递增 10分

（3）设

则 11分

不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立．

，

当时，单调递减，其值域为，

由于，所以成立． 12分

 

当时，由，知， 在处取最小值，

令，得，又，所以

综上，． 14分

 

考点：（1）一元二次不等式的解法；（2）一元二次不等式的单调性；（3）恒成立的问题．