Question

11．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=AC=1，BC=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{3}$，M是棱B₁C₁的中点，N是对角线AB₁的中点．
（1）求证：CN⊥平面BNM；
（2）求二面角C-BN-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出AC⊥BC，AC⊥CC₁，从而AC⊥平面BCC₁B₁，连接CA₁，NA₁，则B、A₁、N三点共线，推导出CN⊥BA₁，CN⊥MN，由线面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM．
（2）连接AC₁交CA₁于点H，推导出AH⊥BA₁，HQ⊥BA₁，则∠AQH是二面角A-BA₁-C的平面角．由此能求出二面角C-BN-B₁的余弦值．

解答 证明：（1）因为AC=1，$BC=\sqrt{2}，AB=\sqrt{3}$，
所以AC²+BC²=AB²，即AC⊥BC
又AC⊥CC₁，BC∩CC₁=C，所以AC⊥平面BCC₁B₁，
连接CA₁，NA₁，则B、A₁、N三点共线，则$C{A_1}=\sqrt{2}=CB$，
所以△CA₁B是等腰三角形，又N是BA₁的中点，所以CN⊥BA₁．
连接A₁M，则RT△BB₁M≌RT△A₁C₁M，A₁M=BM，
所以△BA₁M是等腰三角形，
所以MN⊥A₁B．因为$BM=\sqrt{1+{{（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，BN=\frac{1}{2}{A_1}B=1$，
由勾股定理得$MN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即${C_1}M=MN=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
在△MCN和△CC₁M中，$CN=\frac{1}{2}{A_1}B=1={C_1}C，{C_1}M=MN，CM=CM$，
所以△MCN≌△MCC₁，因为∠CC₁M=90°，所以∠CNM=90°，即CN⊥MN
又BN∩NM=N，所以依据线面垂直的判定定理得CN⊥平面BNM．
解：（2）依题意CB⊥平面ACC₁A₁，连接AC₁交CA₁于点H，因为侧面ACC₁A₁是正方形，
所以AC₁⊥CA₁，所以AH⊥平面BCA₁，即AH⊥BA₁．
取线段NA₁的中点Q，连接HQ、AQ，则HQ是△CA₁N的中位线，HQ∥CN，
由（1）知CN⊥A₁B，所以HQ⊥BA₁，所以BA₁⊥平面AHQ，
则∠AQH是二面角A-BA₁-C的平面角．
因为CN=1，所以$HQ=\frac{1}{2}$，
在△BA₁A中，${A_1}A=1，AB=\sqrt{3}，{A_1}B=2，{A_1}{A^2}+A{B^2}={A_1}{B^2}$，
所以△BA₁A为直角三角形，则$AQ=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$cos∠AQH=\frac{QH}{AQ}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
又二面角C-BN-B₁的平面角是∠AQH的补角，
所以二面角C-BN-B₁的余弦值是$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．