Question

6．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}$=1，|OF|=1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，是否存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则c=1．由$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=1$，即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，可得a²，b²=a²-c²，即可得出．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_PQ=1．可设直线l的方程为y=x+m．与椭圆方程联立得3x²+4mx+2m²-2=0．又F为△PQM的垂心，可得MP⊥FQ．∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}$=0，利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（1）设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则c=1．
又∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{FB}=1$，即（a+c）•（a-c）=1=a²-c²，
∴a²=2，b²=1．
故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），∴k_PQ=1．
∴设直线l的方程为y=x+m．
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{{x^2}+2{y^2}=2}\end{array}}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
又F为△PQM的垂心，∴MP⊥FQ．
∴$\overrightarrow{MP}•\overrightarrow{FQ}={x_1}（{x_2}-1）+{y_2}（{y_1}-1）=0$．
又y_i=x_i+m（i=1，2），
∴x₁（x₂-1）+（x₂+m）（x₁+m-1）=0，
即$2{x_1}{x_2}+（{x_1}+{x_2}）（m-1）+{m^2}-m=0$．
由根与系数的关系，得$2•\frac{{2{m^2}-2}}{3}-\frac{4m}{3}（m-1）+{m^2}-m=0$．
解得$m=-\frac{4}{3}$或m=1（舍去），经检验$m=-\frac{4}{3}$符合条件．
故存在直线l，使点F恰为△PQM的垂心，且直线l的方程为$y=x-\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系、三角形垂心的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．