Question

6．某渔场有一边长为20m的正三角形湖面ABC（如图所示），计划筑一条笔直的堤坝DE将水面分成面积相等的两部分，以便进行两类水产品养殖试验（D在AB上，E在AC上）．
（1）为了节约开支，堤坝应尽可能短，请问该如何设计？堤坝最短为多少？
（2）将DE设计为景观路线，堤坝应尽可能长，请问又该如何设计？

Answer 1

分析 设AD为x米，由题意和三角形的面积公式，可得AE，求得x的范围，在△ADE中，
由余弦定理可得ED²=x²+$\frac{40000}{{x}^{2}}$-200，可令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{40000}{{x}^{2}}-200}$，令t=x²，100≤t≤400，则$f（t）=t+\frac{40000}{t}-200$，求出导数和单调区间，可得最值，即可得到（1）、（2）的结论．

解答 解：设AD为x米，则${S_{△ABE}}=\frac{1}{2}{S_{△ABC}}$
$⇒\frac{1}{2}•x•AE•sin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}•（\frac{1}{2}•{20^2}•sin\frac{π}{3}）$$⇒AE=\frac{200}{x}$，
由$\left\{\begin{array}{l}0＜x≤20\\ 0＜\frac{200}{x}≤20\end{array}\right.$得，10≤x≤20，
在△ADE中，由余弦定理可得ED²=x²+$\frac{40000}{{x}^{2}}$-200，
可令f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{40000}{{x}^{2}}-200}$，
令t=x²，100≤t≤400，
则$f（t）=t+\frac{40000}{t}-200$，
f′（t）=1-$\frac{40000}{{t}^{2}}$，
令f′（t）＞0得，200＜t≤400，f′（t）＜0得，100≤t＜200，
∴f（t）在[100，200）单调递减，在（200，400]单调递增，
$f{（x）_{min}}=f（10\sqrt{2}）=200{m^2}$；
$f{（x）_{max}}=max\{f（10），f（20）\}=300{m^2}$，
∴（1）当AD为10$\sqrt{2}$时，堤坝最短$10\sqrt{2}m$；
（2）当点D为AB中点或与点B重合时，堤坝最长$10\sqrt{3}m$．

点评 本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查导数的运用：求单调区间和最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．